Soluciones

En este espacio he puesto solamente algunas soluciones a los problemas planteados en los años de la colaboración con la prensa. La idea es que todo lector haga su propio descubrimiento matemático.

Solución al problema de Los Señores de Corbata

Los apellidos tan coloridos de estos señores nos llevan a concluir que según el enunciado del acertijo las corbatas les pertenecen así:

 

 

El señor Gris tenía la corbata de color blanco.

El señor Rojo tenía la corbata de color gris.

El señor Blanco tenía la corbata de color rojo.

 

 

En efecto, el señor Gris no podía tener la corbata de color gris porque entonces correspondería a su apellido.

No podía tener tampoco la corbata de color rojo porque ése era el color de la corbata del hombre que hizo la pregunta. Por lo tanto, la corbata del señor Gris debe ser blanca.

Así, la corbata del señor Rojo es de color gris y la corbata del señor Blanco es de color rojo.

Solución al problema de Los Calcetines

Para resolver el acertijo de los calcetines había que poner ojo aún cuando la luz estaba apagada. Si supones que el primero de los calcetines es rojo entonces necesitas sacar otro calcetín rojo. Sin embargo, puede pasar que el próximo calcetín que saques sea azul y también los próximos 9. Con este razonamiento, puedes pensar que la respuesta sería doce. Pero el engaño que te has hecho, si no te has dado cuenta, es que no es necesario que el par de calcetines sea rojo. Puede ser azul. Por tanto, sólo con tres calcetines está resuelto el acertijo. ¿A que si?

Solución al problema El Pastel

Con un solo corte recto puedes dividir una torta en dos partes. Un segundo corte que atraviese el primero producirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte (mira el dibujo) puede llegar a producir siete partes.

¿Cuál es el mayor número posible de partes que puedes lograr con seis cortes rectos?

Para resolver el problema del pastel primero pensemos que un pastel sin cortar es una sola parte. Es decir, 0 corte produce una parte. Ahora comencemos a cortar el pastel.

Un corte da como resultado 2 partes. El corte número 2, deja el pastel dividido en 4. Y el corte número 3, deja el pastel dividido en 7 partes.

Se puede confeccionar una tabla con los datos que tenemos hasta ahora, y al parecer, cada corte suma el mismo número de partes.

 

Nro. de cortes Nro. de partes
0 1
1 2
2 4
3 7

 

La razón es que, por ejemplo, el tercer corte atraviesa las 2 líneas previas. Esas dos líneas dividen a la tercera en tres secciones y cada una de esas secciones divide un pedazo de pastel en dos partes, de modo que cada sección agregará un trozo extra, y las tres secciones agregarán tres pedazos de pastel.

 

El estudio de la solución del problema del pastel venía de observar qué pasaba con los cortes y los trozos que se producían.

Continuamos ahora con la cuarta línea de corte del pastel que nos ocupa desde hace dos semanas.

La cuarta línea (corte) puede marcarse de modo que cruce las otras tres líneas. Esas tres líneas dividirán a la cuarta en 4 secciones y como cada sección agrega un pedazo extra, entonces las 4 secciones agregarán cuatro pedazos más.

Lo mismo ocurre con la quinta línea, y con la sexta y con las siguientes líneas que se quieran agregar. Con lo cual ya podemos completar la tabla de la semana pasada y responder a la pregunta del problema: ¿Cuál es el mayor número posible de partes que puedes lograr con seis cortes rectos?

 

Nro. de cortes Nro. de partes
0 1
1 2
2 4
3 7
4 11
5 16
6 22
7 29

 

La respuesta es 22. También se puede saber cuántos trozos se obtienen con 7 cortes y si se sigue completando la tabla, se puede conocer la cantidad de trozos que se obtienen con más cortes.

Un razonamiento como éste, que va de un caso particular al infinito se llama inducción matemática.

 

Solución al problema de Suma de Cuadrados

Recordemos que algunos números se pueden expresar como una suma de dos cuadrados, pero otros números, no.

Así comentamos que 34 se puede escribir de la manera siguiente: 34=3²+5².

El problema se trataba de encontrar qué números comprendidos del 1 al 50 son la suma de dos cuadrados. La manera más sencilla de hallar estos números es considerar una tabla que construye sumas de cuadrados:

+
2 5 10 17 26 37 50
5 8 13 20 29 40 53
10 13 18 25 34 45 58
17 20 25 32 41 52 65
26 29 34 41 50 61 74
37 40 45 52 61 72 85
50 53 58 65 74 85 98

De esta manera, los números comprendidos entre 1 y 50 que se pueden escribir como sumas de cuadrados son:

2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 37, 40, 41, 45 y 50

Solución al problema de Zánganos:

Para resolver el problema de las abejas, se debe tener en cuenta la partenogénesis.

De esta forma si queremos utilizar un árbol genealógico para encontrar la solución, es importante recordar que las abejas macho, no tienen padre.

Podemos designar la letra M para representar a un macho y a una H para representar una hembra.  Así tenemos que para un macho de la generación 12, hay una hembra en la generación 11, una hembra y un macho en la generación 10, dos hembras y un macho en la generación 9 como en la figura.

 diagrama

 Con esta información, ¿puedes contestar la respuesta a las preguntas del problema?, ¿puedes decir ahora cuántos antepasados tendrá una abeja macho en la duodécima generación? y ¿puedes decir cuántos de ellos serán machos?

 

Una pista: a partir del diagrama anterior estamos en un camino de resolver el problema. Tal vez tu elegiste otro…

¿es necesario construir el árbol genealógico completo para encontrar la solución?

Solución al problema de 1890 (no 1810):

Se trataba de encontrar el menor número entero positivo tal que al multiplicar sus dígitos el resultado sea 1890.

El número 1890 se descompone en factores como sigue:

1890=2×3×3×3×5×7

Así, se tiene que 1890=6×9×5×7.

Solución al problema de La Suma

Se dice que cuando Karl Gauss (gran matemático alemán) tenía 10 años dedujo una de sus primeras fórmulas:

El primer día de la clase de aritmética, el profesor planteó a los alumnos averiguar el resultado de la suma de los primeros 100 números naturales: 1+2+···+99+100 = ?

A Gauss se le ocurrió colocar los números así:

1+ 2+ 3+ ···+ 99+ 100
100 +99 +98 ···+ +2 +1
101 101 101 ···+ 101 101

Repitió los números naturales en orden inverso y los sumó de dos en dos, obteniendo siempre 101.

Luego sumó los cien 101 que obtuvo y se dio cuenta que esa suma es igual a 2 veces la suma de los 100 primeros números naturales consecutivos, es decir,

101+101+···+101+101=(1+2+···+99+100)+(100+99+···+2+1)

101+101+···+101+101=2·(1+2+···+99+100)

Y así al dividir esta igualdad por 2,

1+2+···+99+100 = (101+101+···+101+101)/2

1+2+···+99+100 =101·100/2=5050

llegó a que la suma es 5050.

En conclusión, si queremos sumar del 1 al 100, basta multiplicar 100 por 101 y dividirlo por dos.  Y si te piden ahora sumar los 1000 primeros números naturales consecutivos, ya sabes que el resultado es 1000·1001/2=500500.

 

Y así fue como Gauss dedujo una expresión para calcular la suma de n números naturales consecutivos y la aplicó al ejercicio planteado por su profesor: n(n+1)/2

Solución al problema de La Estrella

estrella lista

Solución al problema del Triángulo Mágico

Para el problema del triángulo mágico hay dos soluciones posibles. En una, la suma en cada lado es 23 y en la otra la suma en cada lado es 17.

triangulos

Solución al problema del Cuadrado Mágico Sorpresa

Se trataba de construir un cuadrado mágico de 3×3 con los números

17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45 y 49.

La suma de los números en vertical, horizontal y diagonal da 99, y una solución posible es:

45

25

29

17

33

49

37

41

21

Si te lo propones, puedes encontrar más soluciones a partir de ésta. De hecho, otro matemático me contó que obtuvo una solución multiplicando cada componente del cuadrado mágico  Lo Shu

4

9

2

3

5

7

8

1

6

por 4 y agregando 13 a cada resultado obtuvo la siguiente configuración

 

29

49

21

25

33

41

45

17

37

 

 

Y tú ¿cómo lo resolviste?         

Solución al problema de los Números en Cruz

Los cuadrados mágicos son antiguas configuraciones de números a los cuales se les atribuyó incluso, propiedades curativas. El más simple y antiguo que se conoce es el cuadrado de 3×3 formado por los nueve primeros números naturales.

solucion en cruz

Solución al problema de los Ocho Números Bien Dispuestos

Para dar respuesta al problema había que tener en cuenta que las posiciones centrales las ocupan el 1 y el 8, y así se cumple la condición de que los números distribuidos en las casillas sean números no consecutivos.

solucion bien dispuestos

Solución al problema de La Basurita:

 solucion pala

 

 Solución al problema del Triángulo de 100 pesos

monedas de 100

Solución al problema La Foto

Ante una fotografía, una persona dijo: “Ni hermanos ni hermanas tengo, pero el padre de este hombre es el hijo de mi padre”, ¿de quién es la foto?

Si el que habla no tiene ni hermanas ni hermanos, entonces puede afirmar que “el hijo de mi padre soy yo”. Por tanto, lo que dice el que mira la foto es: “El padre de este hombre soy yo”. En consecuencia la foto es de un hijo de la persona que habla.

 

Resolver un problema requiere pensar y este pensamiento se puede optimizar usando una metodología. Los resolutores expertos de problemas de matemáticas usan un repertorio de pasos para lograr una buena resolución y todos ellos coinciden en que Comprender el problema es la base de un buen método. A esta primera etapa en la resolución de un problema se denomina familiarización con el problema.

En el problema del domingo pasado y en el de esta semana se necesita poner bastante atención para comprender el enunciado y familiarizarse con los datos.

 

Solución al problema de los Trillizos Mentirosos:

Los datos del problema de los trillizos Ayala son:

Perico: “Pepe nació primero”

Pablo: “Perico nació primero”

Pepe: “Yo no soy el mayor”

Y la pregunta ¿Quién de los tres nació primero?

Si Pepe es el mentiroso, entonces es el mayor de los trillizos. Así Pablo sería el mentiroso, lo cual no es posible, porque sólo uno de los chicos miente.

Si Pablo es mentiroso, entonces Pepe no es el mayor y así Perico también miente, y llegamos a la misma conclusión anterior.

Luego, Perico sería el mentiroso. Así Pepe, no nació primero y entonces Pepe dice la verdad, con lo cual lo que afirma Pablo, también es cierto. Luego, el mayor de los hermanos Ayala es Perico.

Solución al problema de Cabellos en la cabeza:

La cantidad de cabellos que normalmente podemos llegar a tener en la cabeza son unos 200.000.

Si la población de la región metropolitana es de 5.428.590 habitantes aproximadamente y cada persona tiene como máximo 200.000 cabellos en la cabeza, supongamos que existe una persona de los 5.428.590 habitantes de la región metropolitana que tiene un cabello y que a esa persona le llamamos persona Nro.1. Del mismo modo supongamos que otra persona Nro. 2 tiene dos cabellos. Consecutivamente podemos establecer que la persona Nro. 200.000 tiene doscientos mil cabellos.  Entonces, según nuestro razonamiento la persona Nro. 200.001 tiene un sólo cabello y por tanto habría dos personas con el mismo número de cabellos en la cabeza. Es decir, que la respuesta a la pregunta es SI y el argumento es el que hemos seguido.

El hecho de que el número de habitantes sea superior al número de cabellos en la cabeza, ayuda a justificar este razonamiento, el cual está basado en el Principio del Palomar, que establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma. En efecto, Si hay un palomar con 10 agujeros y tenemos 11 palomas, lo cierto es que la paloma número 11 deberá entrar en uno de los agujeros.  En el caso del problema planteado, las palomas son las personas y la cantidad de cabellos son los nidos.

PrincipioPalomar

Solución al problema del lobo la cabra y el repollo

Este problema es antiguo y conocido. Si lo has descubierto por primera vez habrás caído en el necesario ejercicio del ensayo y error. Claro, si se pasa primero el lobo, y luego a la cabra, entonces el lobo se devora a la cabra, y si… bueno… Luego de unas vueltas al tema, se obtiene la solución: El hombre toma la barca, traslada a la cabra al otro lado del río, dejando el repollo con el lobo. Regresa y sube con el lobo a la barca, lo traslada y para no dejar sola a la cabra con su depredador, se lleva a la cabra de vuelta. Así toma el repollo, dejando allí a la cabra y lo lleva hasta el otro lado del río donde espera el lobo. Y por último, el hombre va buscar a la cabra.

Solución al problema de unir 9 puntos:

Se trataba de unir los nueve puntos de la figura con cuatro líneas rectas consecutivas,

 

Frecuentemente limitamos nuestro pensamiento fijándonos barreras inexistentes. El enunciado del problema no indica que se deba trazar las líneas dentro del entramado de puntos de manera exclusiva. Suponer que no se puede salir fuera del entramado es un bloqueo mediante el cual es fácil quedar atascado y no avanzar en la resolución.

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3 thoughts on “Soluciones

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